Début débug interp

interpretation.tex

+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Interprétations}
+
+\begin{defi}[Termes neutres]
+ Un terme est \emph{neutre} s'il est de la forme :
+\begin{center}
+  \begin{tabular}{rlr}
+  $B$ & $::=(\lm (x:A).\,T)\,U_0\dots U_m$& où $m\>0$\\
+  $b$ & $::=(\lm (x:A).\,t)\,u_0\dots u_m\mid x\,t_1\dots t_m\mid f\,t_1\dots t_n$& où $m\>0$, $f\in\FObj\setminus\CObj$ et $n\>\arity(f)$\\
+  \end{tabular}
+\end{center}
+en fonction de s'il s'agit d'une famille ou d'un objet.
+On note $\NTyp$ l'ensemble des \emph{familles neutres} et $\NObj$ celui des \emph{objets neutres}.
+\end{defi}
+
+\begin{coro}[Forme des types habités]
+ Chaque famille habitée est un produit, un type neutre ou une constante de type pleinement appliquée.
+\end{coro}
+\begin{proof}
+ Les abstractions et les symboles de la signature partiellement appliqués habitent dans des produits
+ et aucun produit n'est convertible avec une sorte.
+ D'après le \indlem{lem-Stratification} ces familles ne peuvent donc pas être habitées.
+\end{proof}
+
+\begin{nots}
+ On note 
+ \[\mbb{F}_{inh}=\NTyp\cup\enscond{t\in\mbb{F}}{t\text{ est un produit ou une constante de type pleinement appliquée}}\]
+\end{nots}
+ 
+\begin{defi}[Interprétation des constructeurs de type]
+Ici $\approx$ est la relation d'équivalence induite par $\preced$ et $\sim$ celle induite par $\<$.
+\begin{itemize}
+\item Soit $C$ une constante de type et $\bar l$ une suite de termes telle que $\valabs{\bar l}=\arity(C)$.
+
+     On définit la fonction
+  \[
+  \deffonc
+    {K_{C\bar l}}
+    {\Part{\Lambda}}
+    {\Part{\Lambda}}
+    {X}
+    {\enscond{t\in\SN(\rew\cup\surterm_{acc})}
+      {\begin{array}{l}
+        \text{si }t\reww c\,v_1\dots v_m\text{ où }
+        \left\{\begin{matrix}
+          c\in\CObj\\
+          m\>\arity(c)\\
+          \tau(c)=\Pi\overline{(x:T)}.(C'\,\bar s)\\
+          C'\approx C\\
+        \end{matrix}\right.\\
+        \text{alors pour tout }j\in\Acc(c),v_j\in R_{C\bar l}(T_j,X)\\
+        \end{array}}
+    }
+  \]
+  \[
+    \text{avec }
+    R_{C\bar l}(T,X)=
+    \left\{
+      \begin{array}{ll}
+        X &\text{ si } T\sim C\,\bar l\\
+        \multicolumn{2}{l}{\enscond{t\in\Lambda}
+        {\text{pour tout }u\in R_{C\bar l}(T_1,X), t\,u\in R_{C\bar l}(\subst{T_2}{x}{u},X)}
+          \text{ si } T=\Pi(x:T_1). T_2}\\
+        \mcal{I}_{C'\bar s}& \text{ si }T=C'\,\bar s\text{, et }C'\,\bar s< C\,\bar l\\
+      \end{array}
+    \right.
+  \]
+  Et $\mcal{I}_{C\bar l}$ est le plus petit point fixe de $K_{C\bar l}$.
+  
+\item si $C$ est un symbole défini, $\bar l$ une suite de termes telle que $\valabs{\bar l}=\arity(C)$ et $C\,\bar l\in\SN(\to)$,
+  \[\mcal{I}_{C\bar l}=\left\{\begin{array}{ll}
+                               \SN(\to\cup\surterm_{acc})&\text{si }C\,\bar l\text{ est en forme normale,}\\
+                               \mcal{I}_{(C\bar l)\Downarrow}&\text{sinon.}
+                              \end{array}
+\right.\]
+\end{itemize}
+\end{defi}
+
+\begin{lem}[Monotonie de $K_{C\bar l}$]
+\label{InterpDBonneDef}
+ Pour tous $C$ et $\bar l$, $K_{C\bar l}$ est croissante.
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  Soit $X\subseteq Y \in \Part{\Lambda}$ et $t\in K_{C\bar l}(X)$.
+  \begin{itemize}
+  \item
+    Si $t$ ne réduit vers aucun terme de la forme $c\,\bar s$ où $c$ est un constructeur d'un type dont la constante est dans $\bar C$,
+    alors $t\in K_{C\bar l}(Y)$, car $K_{C\bar l}(X)=\SN(\rew\cup\surterm_{acc})=K_{C\bar l}(Y)$.
+  \item
+    Si $t\reww c\,\bar v$ un constructeur pleinement appliqué d'un type dont la constante appartient à $\bar C$.
+    Alors $\tau(c)=\Pi\overline{(x:U)}. \,C_i\bar s$ et pour tout $j\in\Acc(c)$,
+    $v_j\in R_{C\bar l}(U_j,X)$.
+    Ici, par induction mutuelle sur le nombre de produit, on prouve que :
+    \begin{itemize}
+     \item pour tout $T\in\Froz_{\< C\bar l}$, $R_{C\bar l}(T,.)$ est croissante,
+     \item pour tout $T\in\Froz_{< C\bar l}$, $R_{C\bar l}(T,.)$ est décroissante.
+    \end{itemize}
+     Si $T$ n'est pas un produit, alors
+      \begin{itemize}
+       \item si  $T\in\Froz_{< C\bar l}$, $R_{C\bar l}(T,X)$ est indépendant de $X$,
+        donc $R_{C\bar l}(T,.)$ est décroissante,
+       \item si  $T\in\Froz_{\< C\bar l}$, $R_{C\bar l}(T,.)$ est croissante,
+        car la fonction constante et l'identité sont croissantes.
+      \end{itemize}
+    Si $T=\Pi(x:T_1). T_2$ est un produit, les arguments de contravariance-covariance,
+    avec l'hypothèse d'induction nous permettent de conclure.
+    Sans perdre en généralité, on suppose que $x$ n'apparaît pas dans $C\,\bar l$.
+      \begin{itemize}
+       \item Si $T\in\Froz_{<C\bar l}$.
+        Alors $T_1\in\Froz_{\<C\bar l}$ et $T_2\in\Froz_{<C\bar l}$.
+        Soit $X\subseteq Y\in\Part{\Lambda}$,
+        $t\in R_{C\bar l}(T,Y)$
+        et $u\in R_{C\bar l}(T_1,X)$.
+        
+        Par hypothèse d'induction, $R_{C\bar l}(T_1,.)$ est croissante, donc $u\in R_{C\bar l}(T_1,Y)$.
+        Par définition de $R_{C\bar l}$,
+        $t\,u\in R_{C\bar l}(\subst{T_2}{x}{u},Y)$.
+        Puisque $x$ n'apparaît pas dans $C\,\bar l$,
+        si $T_2\in\Froz_{<C\bar l}$,
+        $\subst{T_2}{x}{u}\in\Froz_{<C\bar l}$ aussi.
+        Donc $R_{C\bar l}(\subst{T_2}{x}{u},.)$ est décroissante.
+        Par conséquent $t\,u\in R_{C\bar l}(\subst{T_2}{x}{u},X)$.
+        On peut alors conclure que $t\in R_{C\bar l}(T,X)$.
+       \item
+        Si $T\in\Froz_{\<C\bar l}$, la preuve est analogue.
+        \qedhere
+      \end{itemize}
+  \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{rmq}
+ Ce lemme nous garantit que $\mcal{I}_{C\bar l}$ est bien défini,
+ donc que la fonction $K_{C\bar l}$ elle-même est bien définie.
+\end{rmq}
+
+\begin{defi}[Fonction d'interprétation]
+  Soit
+  \[\deffonc{F}
+   {\mcal{F}_p(\Lambda,\Part{\Lambda})}{\mcal{F}_p(\Lambda,\Part{\Lambda})}
+   {I}{\enscond{(T,G(I)(T))}{T\in D(I)}}
+  \]
+  où
+  \begin{align*}
+   D : I \mapsto &
+   \enscond{T\in\Lambda_{inh}\cap\SN(\rew)}{\text{si }T\reww\Pi(x:A). B\text{, alors }
+    \begin{array}{l}
+     A\in\domain(I)\\
+     \text{pour tout } u\in I(A), \subst{B}{x}{u}\in \domain(I)
+    \end{array}}\\
+   G: (I,T) \mapsto &
+   \left\{\begin{array}{ll}
+           \mcal{I}_{C\bar u} &\text{si }T\Downarrow=C\,u_1\dots u_n\text{ avec }n\>\arity(C)\\
+           \enscond{t}{\text{pour tout }u\in I(A), t\,u\in I(\subst{B}{x}{u})} & \text{si }T\Downarrow=\Pi(x:A). B\\
+           \SN(\rew\cup\surterm_{acc}) & \text{si }T\Downarrow\in\NTyp\\
+          \end{array}\right.\\
+  \end{align*}
+\end{defi}
+
+\begin{lem}
+ $D$ est croissante.
+\end{lem}
+\begin{proof}
+ Soit $I\subseteq J$.
+ Soit $T\in D(I)$.
+ Donc $T\in\Lambda_{inh}\cap\SN$.
+ 
+ Si $T\reww \Pi(x:A). B$, on a $A\in\domain(I)$ et pour tout $u\in I(A)$, $\subst{B}{x}{u}\in\domain(I)$.
+ Comme $I\subseteq J$, on a $\domain(I)\subseteq\domain(J)$ et pour tout $U\in\domain(I)$, $I(U)=J(U)$.
+ 
+ Par conséquent, $A\in\domain(J)$ et pour tout $u\in J(A)$, $\subst{B}{x}{u}\in \domain(J)$,
+ donc $T\in D(J)$.
+\end{proof}
+
+\begin{lem}[Monotonie]
+ $F$ est croissante.
+\end{lem}
+
+\begin{proof}
+ Soit $I\subseteq J$.
+   Soit $T\in D(I)\subseteq D(J)$.
+   On doit prouver $G(I,T)=G(J,T)$.
+   \begin{itemize}
+    \item
+     Si $T\Downarrow=C\,v_1\dots v_n$ où $C\in\CTyp$,
+     alors $G(I,T)=\mcal{I}_{C\bar u}=G(J,T)$.
+    \item
+     Si $T\Downarrow\in\NTyp$,
+     alors $G(I,T)=\SN(\rew\cup\surterm_{acc})=G(J,T)$.
+    \item
+     Si $T\Downarrow=\Pi(x:A). B$,
+     comme $I\subseteq J$,
+     on a $I(A)=J(A)$ et pour tout $u\in I(A)$, $I(\subst{B}{x}{u})=J(\subst{B}{x}{u})$.
+     Donc $G(I,T)=
+      \enscond{t}{\text{pour tout }u\in I(A), t\,u\in I(\subst{B}{x}{u})}=
+      \enscond{t}{\text{pour tout }u\in J(A), t\,u\in J(\subst{B}{x}{u})}=
+      G(J,T)$.
+   \end{itemize}
+  Donc $F(I)\subseteq F(J)$.
+\end{proof}
+
+\begin{defi}[Plus petit point fixe $\mcal{J}$]
+ On nomme $\mcal{J}$ le plus petit point fixe de $F$.
+\end{defi}
+
+\begin{defi}[Interprétation des types]
+ On définit $\interp{\Type}$ comme étant le domaine de $\mcal{J}$,
+ et pour tout $A\in\interp{\Type}$, on définit $\interp{A}$ comme $\mcal{J}(A)$.
+\end{defi}
+
+\todo{Ici on utilise le théorème d'Abian et Brown (ou Markowski),
+mais je préférerais utiliser des ordinaux (en pratique, ils apparaissent un peu plus loin).}
+
+\begin{defi}[Interprétation de $\Kind$]
+ On définit $\interp{\Kind}$ comme le plus petit point fixe de la fonction croissante définit sur $\Part{\mbb{K}}$:
+ \[
+  X \mapsto \ens{\Type}\cup\enscond{\Pi(x:A).K}{A\in\interp{\Type}\text{ and for all }a\in\interp{A}, \subst{K}{x}{a}\in X}
+ \]
+\end{defi}
+
+\todo{On montre que cette fonction est croissante par induction sur le nombre de produits.
+On peut faire ça dans les kinds, car les substitutions ne peuvent pas faire apparaître de produits.}
+
+\begin{defi}[Interprétation des kinds]
+ On définit inductivement les interprétations des kinds dans $\interp{\Kind}$ par :
+ \begin{itemize}
+  \item $\interp{\Type}$ est défini plus haut,
+  \item $\interp{\Pi(x:A). K}=\enscond{t}{\text{pour tout }u\in\interp{A}, t\,u\in\interp{\subst{K}{x}{u}}}$.
+ \end{itemize}
+\end{defi}
+
+\todo{Encore une fois $\subst{K}{x}{u}$ est plus petit que $\Pi(x:A). K$.
+Faire une induction sur le nombre de produits est possible dans les kinds.}
+
+\begin{rmq}[Invariance par réduction]
+ Comme $\interp{T}$ est définie exclusivement à partir de $T\Downarrow$,
+ pour tout $T$ telle que $\interp{T}$ est définie,
+ pour tout $T'$ telle que $T\rew T'$, on a $\interp{T}=\interp{T'}$.
+\end{rmq}

ordonnabilite.tex

+\section{Ordonnabilit\'e}
+
+\begin{defi}[Constructeurs de type]
+  On se donne un pr\'e-ordre bien fond\'e $\preced$ sur $\FTyp$ .
+\end{defi}
+
+\todo{Est-ce que c'est vraiment utile de mettre tout le monde dans le pré-ordre ?}
+
+\begin{defi}[Statut]
+  On munit chaque $C\in\FTyp$ d'arit\'e $k$ d'un tuple d'entiers inf\'erieurs \`a $k$, $(i_1,...,i_j)$.
+\end{defi}
+
+\begin{defi}[Ordre sur les constructeurs de type]
+  Soit $C$ de statut $(i_1,\dots,i_n)$ et $C'$ de statut $(j_1,\dots,j_{n'})$.
+  On a $C\,\bar l\>C'\,\bar u$ si l'une des 2 conditions suivantes est remplie :
+  \begin{itemize}
+    \item $C\succ C'$,
+    \item $C\approx C'$ et $(l_{i_1},\dots,l_{i_{\min(n,n')}})\trianglerighteq_{lex}(u_{j_1},\dots,u_{j_{\min(n,n')}})$,
+  \end{itemize}
+\end{defi}
+
+Remarquons que l'ordre strict est d\'efini comme l'ordre large, sauf que $\rhd$ remplace $\trianglerighteq$ dans la derni\`ere condition.
+
+\todo{Si pour chaque classe d'\'equivalence pour $\approx$,
+ il existe un entier $n$ tel que les $st(C)$ sont de taille inf\'erieure \`a $n$,
+ alors $>$ est bien fond\'e.}
+
+\begin{lem}
+ Pour tout $\sigma$, tout $C,D\in\FTyp$ et toutes familles de termes $\bar s,\bar t$ de la même taille que l'arité des symboles,
+ $C\,\bar s\>D\,\bar t$ implique $C\,(\bar s\sg)\>D\,(\bar t\sg)$.
+\end{lem}
+
+\begin{lem}
+ Pour tout $\sigma$, tout $C,D\in\FTyp$ et toutes familles de termes $\bar s,\bar t$ de la même taille que l'arité des symboles,
+ $C\,\bar s>D\,\bar t$ implique $C\,(\bar s\sg)>D\,(\bar t\sg)$.
+\end{lem}
+
+\begin{proof}
+ Cette propriété vient du fait que la même propriété est vraie pour $\trianglerighteq$ et $\rhd$.
+\end{proof}
+
+ 
+\begin{defi}[Frozen type]
+ Pour $C\in\FTyp$, on définit les grammaires suivantes :
+ \begin{align*}
+  T_{\<C\bar l}::=& \Pi(x:U_{<C\bar l}). T_{\<C\bar l}\,\mid\,C'\,u_1\dots u_{\arity(C')}&\text{ où }C'\,\bar u\< C\,\bar l\\
+  U_{<C\bar l}::=& \Pi(x:T_{\<C\bar l}). U_{<C\bar l}\,\mid\,C'\,u_1\dots u_{\arity(C')}&\text{ où }C'\,\bar u< C\,\bar l\\
+ \end{align*}
+ On note ces ensembles par $\Froz_{\<C\bar l}$ et $\Froz_{<C\bar l}$ respectivement.
+\end{defi}
+
+\begin{cond}{Frozen rewriting}
+  Pour tout $C\in\FTyp$, s'il y a une règle $C\,\bar l\rul r$, alors $\valabs{l}=\arity(C)$ et $r\in\Froz_{\<C\bar l}$.
+\end{cond}
+
+\todo{On d\'efinit ici la positivit\'e non-stricte.
+Dans quelle mesure complique-t-elle les preuves ?
+J'ai l'impression que tout marche bien.}