Typing in english

typing.tex

 
-\section{Typage}
+\section{Typing}
 
-\subsection*{Formation des contextes}
+\subsection*{Context formation}
 
 \begin{center}
   \begin{tabular}{rcl}
     \AxiomC{$\phantom{\Gamma\vdash A}$}
-    \UnaryInfC{$[]$ bien formé}
+    \UnaryInfC{$[]$ well-formed}
     \DisplayProof&&
     \AxiomC{$\Gamma\vdash A:s$}
     \RightLabel{$\sys{x\notin\support(\Gamma)}{s\in\Sort}$}
-    \UnaryInfC{$\Gamma,x:A$ bien formé}
+    \UnaryInfC{$\Gamma,x:A$ well-formed}
     \DisplayProof
   \end{tabular}
 \end{center}
 
-\subsection*{Axiomes}
+\subsection*{Axioms}
 
 \begin{center}
   \begin{tabular}{rcl}
-    \AxiomC{$\Gamma$ bien formé}
+    \AxiomC{$\Gamma$ well-formed}
     \UnaryInfC{$\Gamma\vdash \Type:\Kind$}
     \DisplayProof&&
-    \AxiomC{$\Gamma$ bien formé}
+    \AxiomC{$\Gamma$ well-formed}
     \RightLabel{$x:A\in\Gamma$}
     \UnaryInfC{$\Gamma\vdash x:A$}
     \DisplayProof
@@ -30,11 +30,11 @@
 \end{center}
 
 \todo{
-On peut remplacer ce prédicat bien formé par une règle d'affaiblissement (cf FSCD).
-Quel impact ce changement a-t-il ?
+ We can replace the ``well-formed'' predicate by a weakening (cf. FSCD).
+ Does it change anything?
 }
 
-\subsection*{Produit}
+\subsection*{Product}
 
 \begin{prooftree}
   \AxiomC{$\Gamma\vdash A:\Type$}
@@ -60,7 +60,7 @@ Quel impact ce changement a-t-il ?
   \BinaryInfC{$\Gamma\vdash t\,u:\subst{B}{x}{u}$}
 \end{prooftree}
 
-\subsection*{Symbole de la signature}
+\subsection*{Signature symbol}
 
 \begin{prooftree}
   \def\defaultHypSeparation{\hskip 0em}
@@ -68,7 +68,7 @@ Quel impact ce changement a-t-il ?
   \UnaryInfC{$\Gamma\vdash f:\tau(f)$}
 \end{prooftree}
 
-\todo{Si l'on a l'affaiblissement, $\G$ peut être supprimé dans cette règle.}
+\todo{If we have the weakening, $\G$ can be suppressed in this rule.}
 
 \subsection*{Conversion}
 
@@ -80,72 +80,80 @@ Quel impact ce changement a-t-il ?
 \end{prooftree}
 
 \begin{cond}{SubjectReduction}(Subject reduction).
-On suppose que les règles préservent le typage, \cad que
-pour tous termes $t$ et $t'$ tels que $t\rew t'$,
-pour tout $T$,
-pour tout contexte $\Gamma$ tel que $\Gamma\vdash t:T$,
-on a $\Gamma\vdash t':T$.
+We suppose that the rules are type preserving in the sense that :
+for all terms $t$ and $t'$ such that $t\rew t'$,
+for all $T$,
+for all context $\Gamma$ such that $\Gamma\vdash t:T$,
+then $\Gamma\vdash t':T$.
 \end{cond}
 
 \begin{rmq}
- Subject reduction implique que pour toute règle $f\,\bar l\rul r$,
+ Subject reduction implies that for any rule $f\,\bar l\rul r$,
  $\FreeVar(r)\subseteq\FreeVar(f\,\bar l)$.
 \end{rmq}
 
-\begin{defi}[Termes (version stratifiée)]
-On donne les 3 grammaires suivantes :
+
+\begin{defi}[Terms (stratified version)]
+We give the 3 following grammars:
 \begin{center}
   \begin{tabular}{rrlr}
   kinds & $K$ & $::=\Type\mid\Pi(x:U). K$\\
-  familles & $T,U$ & $::=\lambda (x:U).\,T\mid\Pi(x:U).T\mid T\,t\mid F$& où $F\in\FTyp$\\
-  objets & $t,u$ & $::=x\mid\lambda (x:T).\,t\mid t\,u\mid f$& où $f\in\FObj$, $x\in\Var$\\
+  families & $T,U$ & $::=\lambda (x:U).\,T\mid\Pi(x:U).T\mid T\,t\mid F$& où $F\in\FTyp$\\
+  objects & $t,u$ & $::=x\mid\lambda (x:T).\,t\mid t\,u\mid f$& où $f\in\FObj$, $x\in\Var$\\
   \end{tabular}
 \end{center}
-Un \emph{terme} est $\Kind$, une \emph{kind}, une \emph{famille} ou un \emph{objet}.
+A \emph{term} is $\Kind$, a \emph{kind}, a \emph{family} or an \emph{object}.
 \end{defi}
 
-\todo{Rajouter un item pour les types qui sont des familles d'arité 0 et mettre cela au bon endroit (mais ça fait une 3e grammaire) ?}
+\todo{
+ Add a grammar for types which are families of arity 0?
+ But it would be a 4th grammar.
+ Does it offer any benefit?
+}
 
 \begin{nots}
-  $\mbb{K}$ désigne l'ensemble des kinds, $\mbb{F}$ l'ensemble des familles et $\mbb{O}$ l'ensemble des objets.
+  $\mbb{K}$ is the set of kinds,
+  $\mbb{F}$ the set of familles
+  and $\mbb{O}$ the set of objects.
 
-  De plus, $\Terms$ désigne l'ensemble de tous les termes.
+  Furthermore, $\Terms$ designates the set of all terms.
 \end{nots}
 
 
-\begin{cond}{ConsistTypSort}(Cohérence typage sortage)
-  $\tau$ associe :
+\begin{cond}{ConsistTypSort}(Consistency between typing and sorting)
+  $\tau$ associates :
   \begin{itemize}
-   \item une kind à chaque symbole de $\FTyp$ ;
-   \item une famille à chaque symbole de $\FObj$.
+   \item a kind to every symbol of $\FTyp$ ;
+   \item a family to every symbol of $\FObj$.
   \end{itemize}
 \end{cond}
 
-\begin{defi}[Forme normale]
- Soit $t\in\SN$, on note $t\Downarrow$ sa forme normale,
- qui est le terme $u$ tel que $t\reww u$ et il n'existe pas de $v$ tel que $u\rew v$.
+\begin{defi}[Normal form]
+ For $t\in\SN$, we denote by $t\Downarrow$ its normal form,
+ which is the term $u$ such that $t\reww u$ and there exist no $v$ such that $u\rew v$.
 \end{defi}
 
 \begin{rmq}
- Grâce à l'hypothèse de confluence locale et lemme de Newman, la forme si elle existe est unique.
+ Thanks to the local confluence hypothesis and Newman's lemma, the normal form is unique and well-defined.
 \end{rmq}
 
-\begin{propo}[Stratification]
- \label{lem-Stratification}
- Si $\Delta\vdash t:A$, alors on est dans l'un des cas suivants :
+
+\begin{propo}[Stratification lemma]
+ If $\D\vdash t:A$ then we are in one of the following cases:
  \begin{itemize}
-  \item $t$ est un objet, $A$ une famille et $\D\vdash A:\Type$,
-  \item $t$ est une famille, $A$ une kind et $\D\vdash A:\Kind$,
-  \item $t$ est une kind et $A=\Kind$.
+  \item $t$ is an object, $A$ a family and $\D\vdash A:\Type$,
+  \item $t$ is an family, $A$ a kind   and $\D\vdash A:\Kind$,
+  \item $t$ is an kind and $A=\Kind$.
  \end{itemize}
 \end{propo}
 \begin{proof}
- C'est le lemme 2.6.10 de la thèse de Ronan.
- C'est aussi dans la thèse de Frédéric (numéro à chercher).
+ This is lemma 2.6.10 of Ronan's thesis.
 \end{proof}
 
-\begin{defi}[Transition bien typée]
- Soit $\G$ et $\D$ deux contextes.
- $\sg$ est \emph{une transition bien typée} entre $\G$ et $\D$ (notée $\sg:\G\rightsquigarrow\D$)
- si pour tous $t,T$, $\G\vdash t:T$ implique $\D\vdash t\sg:T\sg$.
+
+\begin{defi}[Well-typed transition]
+ Let $\G$ and $\D$ be two contexts.
+ $\sg$ is a \emph{well-typed transition} between $\G$ and $\D$ (denoted $\sg:\G\rightsquigarrow\D$)
+ if for all $t,T$, $\G\vdash t:T$ implies $\D\vdash t\sg:T\sg$.
 \end{defi}
+